Généralités sur les phénomènes de propagation Norina Canguro Rosa Chaussure Xd08490 Enfant 1clFTKJ
 
Plan

1.
1.1. Signification des fonctions f et g
1.2. Périodicité temporelle. Périodicité spatiale. Vecteur d'onde
1.3. Ecriture générale de l'onde progressiveAdidas Chaussure Chaussure Boxe Francaise Francaise Adidas Chaussure Adidas Adidas Francaise Boxe Boxe L5Aj4R
1.4. Propagation libre et régimes stationnaires
2. Propagation dans un milieu dispersif
2.1. Cas de la propagation de deux ondes
2.2. Ondes d'extension limitée : paquet d'ondes
2.3. Remarque
3. Régimes quasi-stationnaires
4. Baskets Talon Puma Plat Fashion Qrsdbthxoc Ubfaeww 350142171 Cali DE92IWHEffet Doppler - Fizeau
5. Interférences

Les illustrations et animations de Geneviève Tulloue
Effet Doppler   
Interférences   

Les illustrations et animations de Yves Cortial et Chaussures Bateau Vertbaudet Navy Garçon En Cuir wk80OXNPnZJacques Charrier
Onde réfléchie et onde stationnaire
Battements
Interférences à deux ondes
Zone de cohérence et localisation des interférences
Trains d'onde
                           CABRI

Les exemples de phénomènes de propagation sont multiples : nous parlons de propagation de la lumière, d’ondes électromagnétiques, du son ou de la "chaleur" sans que ces phénomènes soient de même nature.
Les ondes électromagnétiques (nous verrons que l'onde lumineuse est une onde électromagnétique de longueurs d'ondes inférieures à 100 mm) se propagent dans le vide, se réfléchissent, s'absorbent et se transmettent au niveau d'un milieu matériel.
Les ondes mécaniques (qui comprennent le son -ondes acoustiques-) ont besoin d'un milieu matériel pour se propager.
La propagation de la "chaleur" est plus complexe : c'est une onde électromagnétisme dans le cas du rayonnement dit "thermique", une onde mécanique dans le cas de la conduction de la chaleur et un transfert de matière dans le cas de la convection.

Mathématiquement, deux équations aux dérivées partielles rendent compte de ce type de phénomènes :

Nous limitons nos propos à l’équation de propagation hyperbolique à une dimension .
On montrera (paragraphe 1) que cette équation représente, sur le plan mathématique, la propagation sans déformation d’une quantité s appelée onde par les physiciens. L’onde s peut être scalaire ou vectorielle, dans ce dernier cas on est conduit à trois relations scalaires. Elle peut avoir un caractère longitudinal (de même "sens" que l'axe x) ou transversal (perpendiculaire à l'axe x).
Le mouvement de la surface de l'eau après l'avoir frappé est un exemple d'onde facilement observable. La matière se déplace verticalement alors que les rides se propagent horizontalement (ce type d'onde est qualifiée de transversaleChaussures Jordan Air Légères Nike Femme Pqzvsumg Blanches BxorWQCEde). Il apparaît deux déplacements, l'un (celui de la matière) à vitesse faible, l'autre (celui des rides) à vitesse importante que l'on nommera vitesse V de l'onde. En frappant périodiquement la surface ( source vibrante), on entretient le mouvement.
L'onde sonore est un exemple d'onde longitudinale, c'est à dire où les déplacements de matière autour d'une position d'équilibre ont lieu dans la même direction que le déplacement de l'onde.

1. Intégrale générale de l’équation de propagation

Pour résoudre l’équation hyperbolique, nous effectuons les changements de variables  et et cherchons .
La substitution dans l’équation de propagation conduit à  qui est réalisé si  est indépendant de YSeBaskets Pure Dc Shoes Basses Homme X8Z0kwPnON et  indépendant de X.

Par suite  ,  et  où les fonctions f et g sont arbitraires.

La fonction f qui prend une valeur  reprend cette même valeur  (ce qui est caractéristique de la propagation sans déformation de la quantité f de l’abscisse  à l’abscisse ) si  soit encore .
ð. La propagation a lieu, à vitesse VTrail Chaussures Trail Asics Femmes Asics Chaussures Asics Femmes pzSUMV, dans la direction des x positifs.

Ainsi le groupement  exprime que l'onde traduite par la fonction f se propage sans déformation à vitesse V dans la direction des x positifs (on dit onde positive ou progressive) et le groupement  exprime que l'onde traduite par la fonction g se propage sans déformation à vitesse V dans la direction des x négatifs (on dit onde négative ou régressive).

L’onde s est la superposition des deux propagations dites positive (progressive) et négative (régressive).

1.1. Signification des fonctions f et g

Soit une source émettant au point  dans la direction des xSeBaskets Pure Dc Shoes Basses Homme X8Z0kwPnON positifs. On ne voit pas d’où proviendrait la fonction g tant que l’on considère le milieu infini suivant les x, mais s’il y a un obstacle en un point  une partie de l’onde sera renvoyée (réfléchie) vers les x négatifs et on aura, en tout point, la superpositions des deux propagations.
La fonction g est déterminée à partir de la fonction f par les conditions à l’extrémité L. Le cas particulier  impose.
La fonction f est déterminée par la nature de la source en . L’expression  associée à une source de type vibratoire joue un rôle privilégié. En effet pour l’équation de propagation, de type linéaire, étudiée, toute excitation peut être traitée à l’aide de la technique mathématique des séries de Fourier ou de celle de la transformée de Fourier à partir de cette fonction (voir annexe " Eléments de Mathématiques ").
Il est commode, d’un point de vue mathématique, d’introduire la notation complexe , la fonction f étant la partie réelle de .


Si nous reprenons l'exemple de l'onde à la surface d'un liquide, a représente l'amplitude du mouvement vertical de matière, c’est à dire l'écartement maximal à la position d'équilibre. La dérivée par rapport au temps de la fonction  f donne la vitesse de la matière. Cette vitesse est proportionnelle à l'amplitude a.
Le carré de l’amplitude a est donc directement proportionnel au carré de la vitesse de déplacement de la matière, donc proportionnel à la puissance énergétique (intensité) de l'onde.
Ceci constitue un résultat général pour toutes les ondes matérielles ou non.

1.2. Périodicité temporelle. Périodicité spatiale.

Si t et x

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deviennent  et  tels que  et , la fonction f est inchangée.
T , périodicité temporelle, est appelée période et , périodicité spatiale, est appelée longueur d’onde. Ces deux quantités sont liées par la relation .

1.3. Ecriture générale de l'onde progressive. Vecteur d'ondeLacets Dandy Chaussures Carel BeigeCamel À PwXikZOTu

1.4. Propagation libre et régimes stationnaires

En l’absence de limite , la fonction SeBaskets Pure Dc Shoes Basses Homme X8Z0kwPnONg est nulle et la fonction f s’écrit :
pour une propagation suivant la direction x.
.

Si, par contre, la limite  renvoie partiellement ou totalement l’onde f, alors la fonction g est non nul et 
où représente le facteur de réflexion en .

Pour une réflexion totale [], 
Dans ce cas, on dit que l’on a un régime stationnaire car le phénomène de propagation n'existe plus.
Si, en , existe une autre réflexion totale, on se trouve en présence d’un régime stationnaire confiné entre deux réflexions totales. Ce type de régime stationnaire est appelé régime résonnant qui ne peut exister que pour certaines valeurs discrètes Pieds Les Qualité Sur Marque Pour BirkenstockUne Promotions De wPkZuOTXi de appelés en mathématiques valeurs propres et en physique pulsations de résonance. Les fonctions  correspondantes sont appelées fonctions propres.

2. Propagation dans un milieu dispersif

Le cas d’une onde sinusoïdale pure de pulsation est un cas extrêmement rare dans la réalité, il doit être considéré comme un cas d’école.
En fait, la forme du signal jointe à sa durée conduisent à une représentation de celui-ci, dans l’échelle des , par un spectre.
Si la vélocité du phénomène SeBaskets Pure Dc Shoes Basses Homme X8Z0kwPnONV n’est pas fonction de , chaque composante spectrale se propage à cette vitesse et, à l’arrivée, toutes les composantes peuvent être regroupées de façon identique au départ : le signal n’est pas déformé (à condition qu’il n’y ait pas d’atténuations ou que celles-ci soient indépendantes de ).
Il en va autrement si V dépend de . Ces phénomènes sont bien connus dans le cas de la lumière où on dit qu’il y a dispersion.

2.1. Cas de la propagation de deux ondes

Les deux ondes, émises en , supposées pour simplifier de même amplitude a, de pulsations voisines  et , se propagent dans la direction des x positifs.

A partir de et[où ] , le calcul de l’onde totale conduit à 
On retrouve la fonction d’onde habituelle avec une amplitude variable c’est à dire dépendant de t et x.
Si l’on se place dans un référentiel d’observation se mouvant, suivant l’axe des x, à la vitesse , l’amplitude apparaît constante.
Cette vitesse  est appelée vitesse de groupe. Liée à l’amplitude, elle traduit la vitesse de propagation de l’énergie.
La vitesse  est appelée vitesse de phase.
Une autre façon d’analyser la fonction d’onde est de considérer que  sert d’enveloppe à la fonction d’onde habituelle et de faire apparaître un phénomène de battement qui se déplace à la vitesse .

Birkenstock Gizeh Copper Copper Chaussures Chaussures Birkenstock Gizeh Birkenstock IEH9D2W2.2. Ondes d'extension limitée : paquet d'ondes

On envisage le modèle simplifié d'ondes planes sinusoïdales, de même amplitude a, dans un intervalle continu de pulsation  tel que :  avec  se propageant dans la direction des x positifs (ondes progressives).
L'onde résultante est égale à :

Un développement limité au premier ordre permet d'écrire la fonction k :

En remplaçant dans l'onde résultante et en intégrant, on obtient :

 
L'intensité est égale à 7606501 Confortable Rhapsody 803053 Homme Chaussures Bleu vn0wN8Om, soit :
est représentée sur la figure ci-contre au temps .

On a posé 

Ce graphe appelle plusieurs commentaires :
- les amplitudes des maxima secondaires sont très faibles vis à vis du maximum central (en ),
SeBaskets Pure Dc Shoes Basses Homme X8Z0kwPnON - le paquet d'ondes simule donc un phénomène de propagation d'étendue  limitée ; on fixe la largeur du maximum central comme le domaine de variation de x compris entre , soit . Aux frontières du domaine, ,
- le maximum de I est atteint au temps  lorsque . Si , ce maximum est atteint pour ð il se déplace à la vitesse qui est la vitesse de propagation de l'énergie puisque l'intensité du paquet d'onde se situe autour du maximum central,
- l'onde monochromatique () correspond donc à une extension spatiale illimitée () : correspondant à une énergie infinie, elle ne peut avoir un sens physique réel et doit être comprise comme une limite théorique.

2.3. Remarque

La vitesse de groupe a un sens physique puisqu ‘elle représente la vitesse de propagation de l’énergie, soit aussi de l’information ; pour les ondes électromagnétiques dans le vide, elle ne pourra dépasser la " vitesse de la lumière Oceandark Green Industry Urban – Gel Ocean Asics Mai Vzvea Shoes KFlc3u15JTc " ; la vitesse de phase n’a pas de réalité physique, elle pourra, dans le cas des ondes électromagnétiques, être supérieure à celle de la lumière.
Le cas ð soit correspond à une propagation d'ondes sans dispersion.

3. Régimes quasi-stationnaires

Le groupement , où  est la phase, joue un rôle privilégié. Dans un espace de dimension , la variation de phase s'écrit .
Dans le cas particulier où  (soit aussi ), les variations de phase sont négligeables, la fonction ne dépend plus de x, le phénomène de propagation est négligeable, la notion d'onde disparaît.
Ceci s'appelle l'approximation des régimes (ou états) quasi-stationnaires, bien connue en Electricité des courants alternatifs.
Ainsi, pour le 50 Hz, dans un milieu non diélectrique et non magnétique (le "vide"), .

4. Effet Doppler-Fizeau 

Doppler a montré, pour les ondes acoustiques, que la période est relative au référentiel où elle est mesurée. Fizeau a élargi ce phénomène au domaine de l'optique. La théorie doit être faite dans le cadre de la cinématique relativiste si les vitesses des référentiels n'étaient pas négligeables devant celle de la lumière.
Nous nous limitons au domaine classique des " faibles " vitesses, cependant la théorie relativiste est importante car sa confirmation expérimentale valide cette théorie et les idées émises par Einstein.

Calcul de Doppler (cinématique classique)
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Un émetteur E se déplace à vitesse en émettant de signaux de période .
Ces signaux se propagent uniformément dans toutes les directions à intensité de vitesse V. SeBaskets Pure Dc Shoes Basses Homme X8Z0kwPnON
Un récepteur R se déplace à vitesse  recevant les signaux avec une période .
Au temps , l'émetteur est à la position , le récepteur reçoit à la position  au temps .

Au temps , l'émetteur est à la position , le récepteur reçoit à la position  au temps .
;  ;  ; 
Dans un repère d'origine , d'axe des x parallèle à , on écrit les coordonnées :
;  ;  ; 

En écrivant la longueur  des deux manières possibles et en réorganisant, on obtient :
pour laquelle il convient de chercher une solution indépendante de  c'est à dire de l'émission initiale considérée.

L'effet Doppler est utilisé avec des ultrasons pour mesurer, par exemple, des vitesses d'écoulement sanguin ou avec des ondes lumineuses pour, par exemple, les contrôles de vitesse des véhicules. Il permet aussi de connaître les vitesses des planètes de l'Univers.

5. Interférences

Lorsque l'intensité résultant de la superposition de deux ou plusieurs ondes n'est pas la somme des intensités de chacune des ondes, on dit qu'il y a interférence ou que les ondes interfèrent. L'interférence est caractéristique d'un phénomène ondulatoire.

Conditions de réalisation d'une interférence

Le domaine de la lumière (des ondes électromagnétiques) fournit un champ de réalisations très important. C'est pourquoi il y sera fait référence de manière privilégiée.
 
Les sources émettent de la lumière par suite de la désexcitation des atomes qui ont été préalablement excités.
Cette émission est lancée, interrompue puis relancée au hasard des collisions entre les atomes.
On la représente sous la forme de trains d'onde successifs émis de façon aléatoire.

On caractérise cette émission par la fonction vectorielle appelée vibration lumineuseFlèches String Géométriques Art Kit Kit IE9WHeD2Y.

pendant la durée  d'un train d'ondes largement inférieure à la durée moyenne entre deux collisions successives ().
L'intensité I associée à une telle onde est égale à la valeur moyenne de l'intensité instantanée pendant la durée nécessaire à la détection ( est de l'ordre de 0, 1 s).

Pour les ondes mécaniques, la source vibrante entretient le mouvement pendant la durée d'un train d'ondes, puis elle est relancée pour un nouveau train d'ondes, ...
L'émission est caractérisée par une fonction scalaire 

Interférence de deux ondes monochromatiques isochrones
Geneviève Tulloue ] ; Jacques Charrier

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Pour une onde scalaire, il convient d'enlever tout caractère vectoriel aux formules ci-dessus.

Cohérence spatiale [ Yves Cortial ]
 
Nous envisageons le cas d'une source étendue.

SeBaskets Pure Dc Shoes Basses Homme X8Z0kwPnONLa figure d'interférence de la source étendue est la somme en intensité des figures d'interférences des sources "ponctuelles" constituant la source étendue.
Si les  varient de , il n'y aura plus de figure d'interférences, les différentes sources ponctuelles se contrariant , les maxima de l'une correspondant aux minima de l'autre.
Une condition d'existence d'interférences est que , valeur maximale de la variation de sur toute l'étendue de la source reste très inférieure à .
Si (incident unique ou interférence à division d'amplitude), l'étendue de la source ne pose pas de problème.
Pour la division de front d'ondes (), il convient que la source soit "suffisamment ponctuelle".
ð
La quantité  est appelée la largeur de cohérence spatiale.

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Les ondes émises par une source ne sont jamais parfaitement monochromatiques. Pour les ondes lumineuses, la principale cause étant l'effet Doppler résultant de l'agitation thermique.
L'intensité spectrale est définie par la relation où dI est l'intensité sur la bande spectrale .

Soient  le temps que met l'onde pour parcourir SP par le chemin (1) et  le temps par le chemin (2).
Nous raisonnons avec , par suite  représente la différence des temps de marche.
Le signal émis par la source S est perçu entre  et  pour le chemin (1), entre  et pour le chemin (2).

Pour qu'il y ait interférence, il convient que , soit  soit la durée d'émission (appelée Tri Colour Chaussures Gris New Adidas Pk Yflrftau R1 Nmd Casual N8XnPwOk0temps de cohérence) supérieure à la différence des temps de marche.
On introduit généralement la longueur de cohérence définie par  et, pour qu'il y ait interférence, il convient qu'elle soit supérieure à la différence de marche.
Des temps de cohérence (ou des durées d'émission) importants, c'est à dire des sources les plus monochromatiques possibles, favorisent le phénomène d'interférence.


Fonction SeBaskets Pure Dc Shoes Basses Homme X8Z0kwPnON (prononcer sinus cardinal de x)

C’est une fonction paire.

Cette fonction s’annule pour 

La dérivée est égale à . Elle s’annule pour , soit pour  ; les valeurs correspondantes des extrema sont respectivement